物理 · 动态观察

水流出，重心怎样移动？

一个装满水的空心圆球，从底部小孔缓慢排水。

圆球重心变化

观察球壳与剩余水的整体待开始

整体重心 G水的重心 W球壳重心 O

速度

流水进度0%

球壳质量 / 满球水质量0.25调节质量，比较重心的最低位置

为什么会先下降，再上升？

先看两个重心：球壳重心 O 始终在球心；随着水位降低，剩余水的重心 W 不断下降。整体重心 G 在 O、W 之间，靠近质量较大的一方。

开始时往下走：装满水时，三个重心都在球心。流出一部分水后，水的重心降到球心下方，整体重心也随之下降。

后来又往上走：剩余的水越来越少，对整体重心的影响越来越小。虽然水的重心还在下降，但整体重心逐渐靠近球壳重心；水流尽后，回到球心。

观察最低点：水面与整体重心 G 等高时，G 到达最低位置，随后开始上升。

用“跷跷板”理解计算方法

把球壳和水分别看成集中在 O、W 的两个重物，用一根轻杆连接后横放。平衡点就是整体重心 G。根据杠杆平衡条件，约去重力加速度 g：

M \times OG = m \times GW

M 是球壳质量，m 是剩余水质量。设整体重心、水的重心距底部的高度分别为 h、h_水，球心高度为 R。代入 OG = R − h、GW = h − h_水，移项整理得：

h = \frac{M R + m h_{水}}{M + m}

举个例子：球壳和水一样重时，G 就在 O、W 的中点。若 O 高度为 1R、W 高度为 0.5R，那么 G 的高度就是 0.75R。

注意：h_水是水的重心高度，不是水面高度。判断“先降后升”不需要计算水的体积或背诵复杂公式。

模型说明：忽略小孔对球壳重心的影响；缓慢排水，水面保持水平。播放采用理想小孔出流模型，时长作演示缩放。

重力与重心