连接体运动与速度关系｜双题互动动画

连接体运动与速度关系

两道题分别对应“互相垂直的导轨约束”和“曲柄—连杆—滑块约束”。本版进一步补充：完整往复运动、能量流动、杆对物体做功，以及速度矢量沿杆/垂杆的平行四边形分解。

刚性杆的统一约束：杆长不变，所以两端速度在杆方向上的分量始终相等。
即　(v₂ − v₁) · e_杆 = 0。
若把每个速度都分解为“沿杆分量 + 垂杆分量”，则题目本质会更加直观。

第12题完整往复过程

完整运动：θ = 45° → −225° → 45°

进度0.000 s

速度1.0×

实时速度关系

取 a 点坐标为 (0, y)，b 点坐标为 (x, 0)，且 x² + y² = L²。
令 x = L cosθ，y = L sinθ，则：
v_a = ẏ = L cosθ·θ̇，　v_b = ẋ = −L sinθ·θ̇。
因而　|v_b| / |v_a| = |tanθ|，且两端速度沿杆方向的分量始终相等。

杆角 θ

45.0°

a 已下降

0.000 m

a 球速率

0.000 m/s

b 球速率

0.000 m/s

a 球加速度

10.000 m/s²

总机械能（取 m=1 kg）

5.000 J

a 球速度 b 球速度沿杆分速度垂杆分速度

能量流动（取 m=1 kg 演示）

a 动能 K_a

0.000 J

b 动能 K_b

0.000 J

a 重力势能 U_a

5.000 J

b 重力势能 U_b

0.000 J

a 机械能 E_a

5.000 J

b 机械能 E_b

0.000 J

杆对 a 做功 W_杆→a

0.000 J

杆对 b 做功 W_杆→b

0.000 J

能量校验 E_a+E_b

5.000 J

选项判定

A ×a 到最低点时加速度竖直向上，大小为 (2+√2)g，显然大于 g。

B ✓a 下降 0.5 m 时 θ=0°，杆水平，由速度投影约束得 v_b=0。

C ✓a 到最低点时 v_a=0，能量全部表现为 b 的动能，v_b,max=√(10+10√2) m/s。

D ×θ=0°时 v_a=√10 m/s，但随后 v_a还会继续增大，故这不是最大值。

速率—时间图

蓝、橙曲线分别为 b、a 的速率。现在动画展示的是完整往复过程：a 到最低点后并不会停止整个系统，而是继续被 b 向左运动“拉起”，随后再返回。

当前能量条

能量条已移到右侧上方，并改为“带零刻度”的条形表示。即使个别能量为负，也不会溢出，更方便课堂投屏时直接观察。

第13题曲柄连杆运动

P 匀速圆周运动，Q 竖直往复

曲柄角180.0°

速度1.0×

连杆长 / 曲柄半径： 2.8 显示杆向分解标记 Q 速率极值位置

实时速度关系

杆长不变：(v_P−v_Q)·e_PQ=0
即 P、Q 两点速度在连杆方向上的投影相等。
设曲柄角为 φ，曲柄半径 r、连杆长 l：
v_Q/v₀ = cosφ + r cosφ sinφ / √(l²−r²cos²φ)

曲柄角 φ

180.0°

P 的速率

1.000 v₀

Q 的有向速度

−1.000 v₀

Q 的速率

1.000 v₀

两投影之差

0.000

当前构型

OP ⟂ OQ

P 点速度 Q 点速度沿杆分速度垂杆分速度 Q 速率最大/最小标记

v_Q/v₀—φ 图

图中增加了 Q 速率最大、最小对应位置的标记。最小值出现在 O、P、Q 共线时（端点位置，Q 瞬时静止）；最大值出现在两侧某一对对称位置。

选项判定

A ✓OP 与 OQ 垂直时，|v_Q|=v₀。

B ×此时不是“大于”，而是恰好等于 v₀。

C ×O、P、Q 共线时，Q 位于往复运动端点，瞬时速度为 0。

D ×同理，此时 Q 的速度不可能大于 v₀。

第12题完整往复过程

实时速度关系

能量流动（取 m=1 kg 演示）

选项判定

速率—时间图

当前能量条

第13题曲柄连杆运动

实时速度关系

vQ/v0—φ 图

选项判定

v_Q/v₀—φ 图

两道经典的连接体运动的图示

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